VIaje a Jerez de la Fontera

GEOMETRÍA 9

 

LEONHARD EULER

Leonhard Paul Euler, conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Nació en Basilea (Suiza) el 15 de abril de 1707 y murió en San Petersburgo (Rusia) el 18 de septiembre de 1783.

Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos  , muy conocido por el número de Euler, número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física.

Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó de Basilea al cercano pueblo de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de los Bernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.

Con tan solo 23 años, fue nombrado catedrático de física, y tres años después de matemáticas.

La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735  sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho acontecimiento quedó prácticamente ciego del ojo derecho. Sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo.

La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico II hacía referencia a él como el “Cíclope”.

Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de haber sido diagnosticadas. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su  memoria fotográfica. Por ejemplo, era capaz de repetir la “Eneida de Virgilio” desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última. ​ También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos.

Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.

Aportaciones:

·         Teorema de Euler.

·         Teorema de rotación de Euler.

·         Teorema de poliedros de Euler.

·         Identidad de los cuatro cuadrados de Euler.

·         Función de Euler.

·         Número “e“. La constante matemática es uno de los números irracionales más importantes.​ Es aproximadamente igual a 2,71828 ​y aparece en diversas ramas de las Matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.

El matemático francés François Arago (1786–1853) se refirió en cierta ocasión a él diciendo:

«Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran, o como las águilas se sostienen en el aire».

ÁREAS Y VOLUMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

POLIEDROS

·         Poliedros. Son  los cuerpos geométricos limitados por polígonos.

ü  Caras. Son los polígonos que separan el espacio interior del exterior del poliedro.

ü  Aristas. Son los lados de los polígonos que limitan al poliedro.

v  Cada arista es común a dos caras.

ü  Vértices. Son los vértices de los polígonos que lo limitan

v  Cada vértice es común a tres o más aristas.

ü  Ángulos diedros. Son los ángulos formados por dos caras consecutivas.

ü  Ángulos poliedros. Son los ángulos formados por tres o más caras que tienen un vértice común.

ü  Diagonal del poliedro. Es todo segmento que une dos vértices no situados en la misma cara.

ü  Toman el nombre del polígono de la base.

·         Poliedros Regulares.

 

·         Los “poliedros regulares” son los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos regulares y cuyos ángulos diedros y triedros son iguales.

ü  Teorema de Euler: Número de caras + Número de vértices = Número de Aristas + 2

C  +  V  =  A  +  2

Poliedros	Caras	Vértices	Aristas	Ángulos Diedros	Ángulos Triedros	Forma  Caras
Tetraedro	4	4	6	6	4	Triang. Equil.
Hexaedro	6	8	12	12	8	Cuadrados
Octaedro	8	6	12	12	6	Triang. Equil.
Dodecaedro	12	20	30	30	20	Pentagonos
Icosaedro	20	12	30	30	12	Triang. Equil.

ü  Área Poliedros Regulares.

v  Tetraedro. Para calcular su área basta con averiguar el área de una de sus caras y multiplicar el resultado por 4.

                 Área Triángulo Equilátero =  (l² . √3) / 4  //   Área Tetraedro = 4 . (l² .√3) /4 = l ² . √3

                                                                                                      

v  Hexaedro. Para calcular su área basta con averiguar el área de una de sus caras y multiplicar el resultado por 6.

                                                 Área Cuadrado = l² // Área del Hexaedro = 6 . l²

               

v  Octaedro. Para calcular su área basta con averiguar el área de una de sus caras y multiplicar el resultado por 8.

          Área Triángulo Equilátero =  (l² . √3) / 4  //   Área Octaedro = 8 . (l² x √3) / 4 =  2 . l ² .√3

v  Dodecaedro. Para calcular su área basta con averiguar el área de una de sus caras y multiplicar el resultado por 12.

Área  Pentágono = (P . ap.) / 2  // Área Dodecaedro = 12 . (P . ap.) / 2  = 6 . P . ap.

v  Icosaedro. Para calcular su área basta con averiguar el área de una de sus caras y multiplicar el resultado por 20.

       Área Triángulo Equilátero =  (l² . √3) / 4  //   Área Icosaedro = 20 . (l² . √3) / 4 =  5 . l ² .√3

                                     

·         Prisma. Es el cuerpo geométrico limitado por dos polígonos iguales  paralelos llamados bases y por caras laterales que son paralelogramos.

ü  Arista lateral. Son los lados de los paralelogramos de las caras laterales que van  de base a base.

ü  Arista básica. Son los lados de las bases.

ü  Altura. Es la perpendicular comprendida entre las dos bases.

ü  Paralelepipedo. Es el prisma en el que sus seis caras son paralelogramos.

ü  Ortoedro. Es el paralelepípedo en el que sus seis caras son rectángulos.

ü  Romboedro. Es el paralelepípedo cuyas seis caras son rombos.

ü  Hexaedro. Es el paralelepípedo cuyas seis caras son cuadrados.

ü  Áreas de un Prisma.

v  Área Lateral. Es la suma de las áreas de las caras laterales.

             Área lateral  =  Perímetro de la base . altura

v  Área Total. Es la suma del área lateral con el área de las dos bases.

             Área Total   = Área lateral + Área de las dos bases

·         Pirámide. Es el cuerpo geométrico limitado por un polígono llamado base y por caras laterales que son triángulos con un vértice común.

ü  Arista lateral. Son los lados de los triángulos  de las caras laterales que van  desde el vértice común a la base.

ü  Arista básica. Son los lados de la base.

ü  Altura. Es la perpendicular comprendida entre el vértice común y el centro de  la base.

ü  Apotema. Es la altura de una de las caras laterales

ü  Áreas de una Pirámide.

v   Área Lateral. Es igual a la suma de las áreas de las caras laterales. // Es igual al semiperímetro  de la base por la apotema

                       Área Lateral = (Perímetro base . apotema)/ 2

v  Área Total. Es igual a  la suma del área lateral con el área de la base.

                       Área Total = Área Lateral + Área de la base

·         Tronco de Pirámide. Es la porción de pirámide comprendida entre la base y un plano paralela a ella.

ü  El trozo de altura y apotema  de la pirámide comprendida entre la base y el plano trazado, son la altura y la apotema del tronco de pirámide.

 

                              

v  Área Lateral. Es igual a la suma de las caras laterales // Es igual al producto de la semisuma de los perímetros de las dos bases por la apotema.

                                Área lateral =  (Perímetro Base + Perímetro base)  / 2 .  apotema

 

v  Área Total. Es igual a la suma del área lateral  con el área de las dos bases.

                     Área Total = Área Lateral + Área de las dos  base

·         Cilindro. Es el cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar sobre uno de sus lados como eje.

ü  Radio. Es el radio de una de las bases.

ü  Generatriz. Es el segmento perpendicular comprendido entre dos puntos de la circunferencia de la base. las dos bases

ü  Altura. Es el segmento perpendicular entre el centro de las dos bases.

ü  Áreas de un Cilindro.

 

v  Área Lateral. Es igual al producto de su altura por la longitud de la circunferencia de la base.

                                    Área Lateral = 2 . π . r . h/g

v  Área Total. Es igual a la suma del área lateral con el área de las dos bases.

                                                     Área Total = Área lateral + Área 2 bases

                                            Área Total = 2 . π . r . g + 2 . π . r² =  2 . π . r (r + g)

·         Cono. Es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos  como eje.

ü   Radio. Es el radio de  de la base.

ü  Altura. Es el segmento  comprendido entre el vértice o cúspide y el centro  de la  base.

ü  Generatriz. Es el segmento  comprendido entre el vértice o cúspide y un punto de la circunferencia   de la  base.

ü  Áreas de un Cono.

v  Área Lateral. Es igual al producto del “radio” por la “generatriz” y por “ π “

                                    Área lateral  =  π . r .  g

v  Área Total. Es igual al área lateral más el área de la base.

                                                     Área Total =  π . r . g  + π . r² = π . r ( r + g )

·         Tronco de Cono. Es la porción de cono  comprendida entre la base y un plano paralela a ella.

ü  El trozo de altura y la  generatriz  del cono comprendida entre la base y el plano trazado, son la altura y la generatriz del tronco de pirámide.

v  Área Lateral. Es igual a la semisuma de las longitudes de la circunferencias básicas por la generatriz.

                                         Área Lateral = ´(2 .  π . r  + 2 . π . r´) / 2 . g = π . (r + r´) . g

v  Área Total. Es igual al área lateral más el área de las dos bases.

                         Área Total = π . (r + r´) . g  + π . r² + π . r´²

·         La Esfera. Es el cuerpo redondo engendrado por una semicircunferencia al girar, como eje,  alrededor del diámetro.

ü  Área Esfera. Es igual al producto de cuatro por el área del círculo máximo.

                                           Área de la Esfera = 4 . π . r²

·         Zona Esférica. Es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos.         

ü  Área de la Zona Esférica. Es igual a la longitud de la circunferencia máxima de la esfera por la altura entre los dos planos secantes.

                                       Área Zona Esférica = 2 . π . r . h

                         

·         Casquete Esférico. Es cualquiera de las dos partes  resultantes de cortar la esfera por un plano.

    

ü  Área del Casquete Esférico. Es igual a la longitud de la circunferencia máxima de la esfera por la altura del plano a la esfera.

                                             Área Zona Esférica = 2 . π . r . h

·         Huso esférico. Es la porción de esfera comprendida entre las caras de un diedro cuya arista contiene al diámetro.

ü  Área del Huso esférico. Es igual a la superficie del círculo máximo de la circunferencia por el número de grados y dividido por noventa.

                                      Área del Huso esférico = (π . r² . nº) /90

·         Unidades de Volumen.

Múltiplos				Submúltiplos
km3	hm3	dam3	m3	dm3	cm3	mm3

ü  Relación entre las unidades de Volumen, Peso y Capacidad.

VOLUMEN	CAPACIDAD	PESO
m3	Kl	tm
dm3	l	kg
cm3	ml	g

     ·         Volúmenes de Poliedros.

ü 

Volumen del Prisma . Es igual al área de la base por la altura.

                                                     

                                                            Volumen del Prisma = Área base . h

ü  Volumen Ortoedro. Es igual al producto de sus tres dimensiones.

                                                                  

                                                          Volumen del Ortoedro = a . b . c

ü  Volumen Hexaedro o Cubo. Es igual a la arista al cubo.

                                                                  Volumen del Cubo =  a ᶾ

ü  Volumen de la Pirámide. Es igual  a un tercio del  área de la base por la altura.

                                                           Volumen de la Pirámide = (Área base . h) / 3

·         Cuerpos Redondos

ü  Volumen del Cilindro de Revolución. Es igual al área de la base por la altura.

                                                     

                                                        Volumen del Cilindro  =  π . r² . h

ü  Volumen del Cono. Es igual a un tercio del área de la base por la altura.

                                                        Volumen del Cilindro  =  (π . r² .  h) / 3

ü  Volumen de la Esfera. Es igual al producto del cubo del radio por los cuatro tercios de   “π"

                                                        Volumen de la Esfera  =  (4 . π . rᶾ) /3

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

*  Cuál es el área de un tetraedro de arista 8 cm?

* ¿Cuál  es el área  de un octaedro de 5 cm de arista?

* ¿Cuál es el área de un icosaedro de 4 cm de arista?

* ¿Cuál es el área de un cubo de arista 10 cm?

* Determinar el área de un dodecaedro que tiene 30 cm  el perímetro de una cara y 2,5 cm de apotema.

* Hallar el área lateral y total de un prisma recto de altura 10 cm, siendo la base un triángulo equilátero  de lado 5 cm.

* ¿Cuánto mide la diagonal de un hexaedro o cubo cuya arista es 5 cm.

* Hallar el área lateral y total de una pirámide cuadrangular siendo 5 cm el lado de la base y 10 cm la medida de la apotema.

* Determinar el área lateral y total de un tronco de cono de pirámide regular de bases cuadradas de 5 y 3 cm de lado y de apotema 6 cm.

* Un cilindro recto tiene de altura 10 cm y de radio de la base 3cm. ¿Cuánto vale el área lateral? ¿Y el área total?

* Hallar el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 5 cm y de radio de la base 3 cm.

* Hallar el área lateral y total del tronco de cono cuyos radios de las bases miden 6 y 10 cm. La medida de la generatriz es 8 cm.

* Calcular el área de la zona esférica limitada pos dos planos que distan entre sí 6 cm, siendo el radio de la esfera 10 cm. ¿Cuál es el área de la esfera?

* Determinar el área de un  huso esférico de amplitud 90º en una esfera de radio 10 cm.

* Hallar el volumen de un cilindro de revolución cuya altura mide el diámetro de la base siendo 5 cm el radio.

* Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular de altura 8 cm y de arista básica 6 cm. ¿Cuántos litros contiene?

* Calcular el volumen de un cono sabiendo que el radio de la base es 3 cm y la generatriz 5 cm.

* Hallar el volumen engendrado por un trapecio isósceles que gira sobre la base mayor de 12 m; la otra base  mide 7 m y el lado no paralelo 9 m.

* Un trapecio rectángulo tiene por bases 20 cm y 28 cm y por altura 6 m. Gira alrededor de la base mayor.

* Una esfera ha siso embalada en una caja cúbica cuya arista mide 20 cm y tal que todas sus caras tocan a la esfera en un solo punto.

                                                             

 Calcular:

+ El volumen de la esfera.

+ El espacio vacío que se ha rellenado con el embalaje.

DIRECCIONES DE INTERNET

Los cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos redondos

https://www.youtube.com/watch?v=rUFViMlAx2E

CUERPOS GEOMÉTRICOS: Poliedros y Cuerpos Redondos - Educación Primaria

https://www.youtube.com/watch?v=uj5mGbHgpoc

LOS POLIEDROS | Vídeos Educativos para niños

https://www.youtube.com/watch?v=

Las aventuras de Troncho y Poncho. Poliedros Recursos.

www3.gobiernodecanarias.org

Ejercicios interactivos de poliedros/Superprof

www.superprof/.es 

Cuerpos Redondos: Cilindro, Cono y Esfera

yoube.com/watch?v=YTyLZc5_Veg